Cálculo Diferencial del Semestre 2021A página de Tareas Avisos, Apuntes y Material de Apoyo para las clases por Meet.

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En esta sección se publicarán las tareas para entregar en el Semestre

Avisos

Calendario del Semestre con las fechas importantes!!

Apunte De Funciones Y Relaciones

Relación es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos sin ninguna restricción

Esta relación se representa con el siguiente conjunto de pares ordenados:

R={(x_{1},y_1 ),(x_{1},y_{2} ),(x_{2},y_{1} ),(x_{2},y_{2} ),(x_{3},y_{3} ),(x_{4},y_{4} )}

Función:

El concepto de función es uno de los más importantes en las matemáticas. Las funciones no sólo representan fórmulas, o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos o planteamientos que resuelven problemas de la vida real.

A continuación se dan algunas definiciones de función:

• Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio).

• Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x ∈ A asigna un único elemento f (x) del conjunto B, se dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representa de la siguiente forma: f: A → B, donde al conjunto A se le llama dominio y al B contradominio, que también se representa por medio de un diagrama de flechas:

Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen a una colección, entonces se cumple que b = c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo primer elemento.

1.- Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:

Solución:
El primer y el tercer diagramas corresponden a una función ya que a cada elemento del conjunto A se le asigna un solo elemento del conjunto B.

En el segundo diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B, mientras que en el cuarto diagrama el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se concluye que estos conjuntos representan una relación.

2.- Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o a una relación:

A= {(-2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}

B= {(3,2),(3,6),(5,7),(5,8)}

C= {(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)}

A= {(2,4),(6,2),(7,3),(4,12),(2,6)}

Solución:
Los conjuntos A y C son funciones ya que el primer elemento de cada par ordenado no se repite. En el conjunto B el 3 y el 5 aparecen dos veces como primer elemento del par ordenado mientras que en el conjunto M al 2 se le están asignando el 4 y el 6 como segundo elemento, por tanto, B y M son relaciones.

Las funciones y relaciones pueden tener una representación gráfica en el plano cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta con trazar una recta paralela al eje “Y” sobre la gráfica; si ésta interseca en dos o más puntos es una relación, si sólo interseca un punto será una función.

3.- Determina si las siguientes gráficas representan una relación o una función.

Solución:
Se traza una recta vertical en ambas gráficas y se observa que en la primera intersecta en dos puntos a la gráfica, por tanto, representa una relación y en la segunda, la recta vertical interseca en un punto a la gráfica, por consiguiente representa una función.

EJERCICIOS 1
Identifica si los siguientes conjuntos representan funciones o relaciones.

1.= \left\lbrace(0,3),(2,3),(-1,3)...\right\rbrace

2.= \left\lbrace(-3,5),(3,5),(-3,2)...\right\rbrace

3.= \left\lbrace(4,7),(-4,\sqrt{3}),(\sqrt{2},5)...\right\rbrace

4.= \left\lbrace(2,5),(\sqrt{4},2),(3,-3)...\right\rbrace

5.= \left\lbrace(a,2a),(-2a,3a),(4a,a)...\right\rbrace

6.= \left\lbrace(\cfrac{3}{2},1),(\cfrac{6}{4},-1),(1,\cfrac{5}{2})...\right\rbrace

Identifica qué representa cada gráfica (función o relación):

Notación
Una función se denota o escribe como y=f(x) donde:

x: variable independiente

y: variable dependiente

f: función, regla de asignación o correspondencia.

Clasificación:
Las funciones se clasifican en: algebraicas y trascendentes

Ejemplos:

Algebraicas

f(x)=x^3-4x	f(x)=\sqrt{x-4}	y=|x|
y=3x^2-5x-6	g(x)=\sqrt[3]{x+1}	g(x)=|x-2| -1

Trascendentes

f(x)=cos x	f(x)=e^{4x}	s(t)=ln(2t-4)
f(x)=sen(x-\frac{\pi}{2})	y=e^{\sqrt{x}}+2	g(x)= log(x+1)

Las funciones algebraicas y trascendentes pueden ser:

• Explícitas.– Es cuando la función está en términos de una variable, por ejemplo:

y=x^2	f(x)=\cfrac{x-3}{x+5}	y=sen3x	s(t)=e^t	y=log x
y=x^3-1	g(x)=\sqrt{\frac{x}{x-1}}	f(x)=cos \frac{1}{2}x	f(g)=2^{x+3}	f(x)=ln(3x)

 

• Implícitas.– Es cuando ambas variables forman parte de la ecuación, por ejemplo:

 

x^2-8y+16=0

x^3+y^2-3x=0

sen x+cos y =1

e^y=x+3

Valor de una función (o evaluación de funciones).

El valor real f (x) de una función es aquel que toma “y” cuando se asigna a x un determinado valor real.

1.- Obtén f(-3)para f(x)= 3x^2-5x-2

Solución:

Para obtener f (-3) se sustituye x = -3 en la función y se realizan las operaciones indicadas,

f(-3)=3(-3)^2-5(-3)-2=27+15-2=40

Por tanto f (-3) = 40, es decir y = 40 cuando x = -3 o lo que es lo mismo, la curva pasa por el punto (-3, 40) en el plano cartesiano.

2.- f(x)=\cfrac{3x-1}{5-x} encuentre f(\cfrac{3}{4})

Solución:

Se sustituye x=\cfrac{3}{4} en la función y se realiza las operaciones:

f(\cfrac{3}{4})=\cfrac{3(\cfrac{3}{4})-1}{5-\cfrac{3}{4}}=\cfrac{\cfrac{9}{4}-1}{5-\cfrac{3}{4}}=\cfrac{\cfrac{5}{4}}{\cfrac{17}{4}}=\cfrac{5}{17} , por tanto, cuando x=\cfrac{3}{4}, f(\cfrac{3}{4})=\cfrac{5}{17}

3.- Si s(t)=\sqrt{t-5}, determinar s(4), s(a+5)

Solución

s(4)=\sqrt{4-5}=\sqrt{-1},la función no está definida para t=4 \sqrt{-1} no tiene solución real

s(a+5)=\sqrt{a+5-5}=\sqrt{a}

4.- Si f(x)=sen(x+\cfrac{\pi}{4}), determina f(\cfrac{\pi}{3})

Solución

Se sustituye x=\frac{\pi}{3} en f(x) y se utiliza la identidad sen( \alpha + \beta)= sen \alpha cos \beta + sen \beta cos \alpha

5.- Determinar \cfrac{f(a+b)-f(a)}{b} si f(x)=\sqrt{x}

Solución:

Se obtiene que f(a+b)=\sqrt{a+b} y f(a)=\sqrt{a}

Se sustituyen los valores obtenidos: \cfrac{f(a+b)-f(a)}{b}=\cfrac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a}}{b}

Un resultado equivalente se obtiene al racionalizar el numerador:

6.- Si y=\cfrac{x}{x+2} encuentra el valor de y cuando x=-2

Solución:

Al evaluar la función en x=-2

y=\cfrac{-2}{-2+2}=-\cfrac{2}{0}

La función no está definida para x=-2 , ya que la división entre cero no está determinada

Apunte Algunos Tipos de Funciones

Función constante

f(x)= k con k \in R representa una recta paralela al eje “X” sobre k.

Dominio D_f =R o bien x \in (-\infty, \infty ) \text{ Rango:} R_f ={k}

Ejemplo

Obtén la gráfica de f(x)= 4

Solución

Se traza una recta paralela al eje X sobre y= 4

Función Lineal

Esta función tiene la forma f(x) = mx + b y representa una recta en el plano cartesiano, en donde m es la pendiente y b la ordenada al origen.

Para graficar una función lineal se lleva a cabo lo siguiente:

I. Se localiza la ordenada al origen, es decir, el punto (0 , b).
II. A partir de este punto, se localiza otro, tomando la pendiente como el incremento o decremento vertical sobre el incremento horizontal

Ejemplo

Grafica la Función y= \cfrac{2}{3}+4

Solución
La pendiente y la ordenada al origen de la función:

y= \cfrac{2}{3}+4

m= \cfrac{2}{3} \Longrightarrow \cfrac{\text{2 incremento vertical}}{\text{3 incremento horizontal} } , b= 4 representa el punto (0,4)

Gráfica de la función

Traza la gráfica de la función y= -\cfrac{4}{5}x+2

Solución
La pendiente y la ordenada al origen de la función:

m =-\cfrac{4}{5}=\cfrac{-4}{5} \Longrightarrow \cfrac{\text{-4 decremento vertical}}{\text{5 incremento horizontal}} , b=2, \text{representa el punto (0,2)}

Gráfica de la Función

Función Identidad

Es la función lineal f(x)=mx + b, \text{con } m=1 \text{y } b=0, \text{ es decir: } f(x)=x

Dominio: D_f=R \text{ o bien } x \in (-\infty. +\infty) \text{ Rango: } R_f = R \text{ o bien } y \in (-\infty,+\infty)

Función Cuadrática

Es de la forma f(x)=ax^2+bx +c y representa una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo

V(h,k): son las coordenadas del vértce.

Para obtener las coordenadas (h,k) del vértice se aplican las siguientes fórmulas:

h= -\cfrac{b}{2a} , k=\cfrac{4ac-b^2}{4a}

Ejemplo:
Obtener el dominio, rango y la gráfica de la función f(x)= x^2 -4x+5 .

Solución
Se identifican los valores de los coeficientes de cada término: a=1, b= -4 \text{ y } c=5.

a>0, \text{la parábola es cóncava hacia arriba}

Se calcula los valores de h y k:

h=-\cfrac{b}{2a} = \cfrac{-(-4}{2(1)} = 2; k=\cfrac{4ac-b^2}{4a} = \cfrac{4(1)(5)-(-4)^2}{4(1)} = 1

Para graficar, se tabula y se asignan valores de x menores y mayores que 2

x	0	1	2	3	4
y	5	2	1	2	5

La Función f(x)=x^n

Con “n” entero positivo tiene como: Dominio x \in (-\infty, \infty) es decir el conjunto de los reales R y Rango:

Obtén la gráfica de las funciones f(x)=x^3\text{ y } g(x)=x^5

Solución:

Se tabula para valores arbitrarios de x:

Definición de Asíntota

Si la distancia d entre una recta o curva L y el punto móvil Q(x,y) de la función tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asíntota.

Existen tres tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas
Cuando la gráfica de la función f(x) se acerca a la curva o recta L(x) y la distancia d entre un punto de f(x) y la curva o recta L(x) tiende a cero (es decir la gráfica no toca a L(x) ), entonces L(x) recibe el nombre de asíntota.

Asíntotas Verticales
Una Función de la forma F(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)} , tiene asíntotas verticales si existen valores x_1,x_2,x_3,....,x_n tal que se cumple lo siguiente:

Q(x_1)=Q(x_2)=...=Q(x_n) =0

Asíntotas Horizontales
Se despeja la variable independiente x, si se obtiene una función de la forma G(y)=\cfrac{R(y)}{S(y)} , tal que para los valores de y_1,y_2,y_3...y_n se cumpla que:

S(y_1)=S(y_2)=...=S(y_n)=0

Ejemplo

Función Raíz Cuadrada

La función está dada por: f(x)= \sqrt{g(x)}, \text{con } g(x) \geqslant 0

Obtén la gráfica de la Función f(x)= \sqrt{x+2}

Solución

Para determinar el dominio se resuelve la desigualdad x+2\geqslant 0 \text{ donde } x \geqslant -2 , entonces el dominio es el conjunto: \{ x \in R | x \geqslant -2 \} \text{ o } x \in [ -2, \infty)

El rango se obtiene despejando x

y= \sqrt{x+2} \longrightarrow y^2=x+2 \longrightarrow x=y^2-2

La función es una raíz positiva, o cero, es decir \in [0, \infty) y el despeje da como resultado una expresión polinomial donde y \in R , por tanto está defiido para y \in [0, \infty)
al tabular dando algunos valores en el intervalo x \in [-2, \infty) se obtiene:

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	0	1	\sqrt{2}	\sqrt{3}	2	\sqrt{5}	\sqrt{6}	\sqrt{7}

La Gráfica que se obtiene es:

Determina la gráfica de la Función f(x)=\sqrt{x^2-x-2 }

Solución
Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad x^2 -x-2\geqslant 0 obteniendo que
x \in (-\infty, -1 ] \cup [2,\infty)
Al despejar x se obtiene , x=\cfrac{1 \pm\sqrt{4y^2+9}}{2} donde y \in (-\infty, \infty), f(x) es una raíz positiva, o cero, por tanto el rango es: y \in (-\infty, \infty) \cap [0,\infty)=[0, \infty)

Grafica la Función y = \sqrt{\cfrac{x-1}{x+1}}

Solución

Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad \cfrac{x-1}{x+1}\geqslant 0, obteniendo que:

x \in (-\infty, -1) \cup[1, \infty)

Al despejar x para obtener el rango:

y= \sqrt{\cfrac{x-1}{x+1}}\longrightarrow y^2=\cfrac{x-1}{x+1}\longrightarrow y^2 (x+1)=x-1

\longrightarrow y^2x+y^2=x-1
y^2x-x=-1-y^2
x(y^2-1)=-1-y^2

x=\cfrac{-1-y^2}{y^2-1} \text{, dónde } y \neq \pm 1

La función es una raíz positiva, y \in [0, \infty), entonces el rango corresponde a:

y \in [0, 1) \cup (1,\infty)

La función tiene una asíntota vertical en x=-1 y dos horizontales en y =-1, y=1, al graficar se obtiene:

Nota: Observe que gráficamente y = -1 No es asíntota.