En este Módulo revisaremos todo lo relacionado con Ecuaciones de Primer Grado, Teoría, Conceptos, Ejemplos, Métodos de Solución etc.
Una ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de una variable o variables desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas. Toda ecuación consta de dos miembros, el primero esta formado por todos los términos escritos antes del signo igual y el segundo está compuesto por todos los términos escritos después del signo igual.
También llamada ecuación lineal con una incógnita es aquella que una vez simplificada sólo tiene una incógnita (x,y,z ...) cuyo exponente es 1.
Ejemplo 1:Ecuación 5y+6=3y+12
Explicación | Ecuación Simplificada |
Ecuación de primer grado ya que el exponente de {y}^1, es uno y es lineal por que solo tiene una incógnita y | 2y=6 |
Ecuación 2-x=x-8
Explicación | Ecuación Simplificada |
Ecuación de primer grado ya que el exponente de {x}^1 , es uno y es lineal por que solo tiene una incógnita x | 10=2x |
Ecuación -2(6z+4)=+4
Explicación | Ecuación Simplificada |
Ecuación de primer grado ya que el exponente de {z}^1 , es uno y es lineal por que solo tiene una incógnita z | -12z=12 |
Dar solución a una ecuación también llamado satisfacer una ecuación o resolver una ecuación, todas estas formas de preguntar hacen referencia a obtener el valor de la incógnita. Sin embargo se pueden tener diferentes tipos de resultados, se puede tener una solución, infinitas soluciones ó no tener solución con lo cual, se debe ir analizando la ecuación durante su solución para entender qué tipo de resultado estamos obteniendo.
Generalmente una ecuación de primer grado lineal, tiene una sola solución, la cual satisface completamente la condicion establecida ( ecuación ).
Ejemplo:Ecuación: 5y+6=3y+12
Explicación | Solución |
Encontrar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad. | 5y+6=3y+12 |
Reducimos los términos semejantes haciendo uso de la leyes de los signos. | 5y-3y=12-6 2y=6 y=\frac{6}{2} |
Resultado La solución es única solo ese valor satisface la ecuación | y=3 |
Comprobación: Sustituimos el valor encontrado en la ecuación original para comprobar que cumpla la igualdad.
Explicación | Solución |
Sustituimos el valor antes encontrado para comprobar que es la solución. | 5(3)+6=3(3)+12 |
Realizamos las operaciones correspondientes en ambos miembros de la ecuación. | 15+6=9+12 |
Resultado Tenemos que el valor encontrado previamente mantiene la igualdad | 21=21 |
Comprobación 2: Para saber que solo ese valor satisface la ecuación probaremos sustituyendo por un valor aleatorio.
Explicación | Solución |
Sustituimos un valor cualquiera en la ecuación original en este caso probaremos con 6. | 5(6)+6=3(6)+12 |
Realizamos las operaciones correspondientes en ambos miembros de la ecuación. | 30+6=18+12 |
Resultado Tenemos que el valor aleatorio NO satisface la ecuación ya que NO respeta la igualdad por lo tanto 6 NO ES SOLUCIÓN. | 36=30 36 \neq 30 |
Se refiere a que no existe ningún valor, ni siquiera cero, que satisfaga la ecuación. Es decir que sustituyendo valores en la ecuación original, No se satisface la ecuación. Esto es porque NO hay solución.
Ejemplo 1 :Ecuación y+1=y-1
Explicación | Solución |
Encontrar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad. | y+1=y-1 |
Reducimos los términos semejantes haciendo uso de la leyes de los signos. | y-y=-1-1 0=-1-1 |
Resultado La solución encontrada es absurda por lo tanto NOTIENE SOLUCIÓN. Además si analizamos más allá de la solución numérica no tiene sentido, Un número al que sumado uno dé como resultado ese mismo número pero menos una unidad. | 0=-2 0\neq-2 |
Ecuación 3z+8=3(z+2)
Explicación | Solución |
Encontrar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad. | 3z+8=3(z+2) |
Reducimos los términos semejantes haciendo uso de la leyes de los signos. | 3z+8=3z+6 3z-3z=6-8 |
Resultado La solución encontrada es absurda por lo tanto NO tiene solución. | 0=-2 0\neq-2 |
Ecuaciones con infinitas soluciones, esto significa, que cualquier número satisface la ecuación, este tipo de ecuaciones tiene infinitas soluciones también llamado conjunto solución , porque hay infinitos números.
Ejemplo 1:Ecuación 4x+6x=10x
Explicación | Solución |
Encontrar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad. | 4x+6x=10x |
Reducimos los términos semejantes haciendo uso de la leyes de los signos. | 10x=10x 10x-10x= |
Resultado La solución encontrada es respeta la igualdad además nos dice que el conjunto solución tiene infinitas soluciones. | \cancel{10x}-\cancel{10x}=0 0=0 |
Explicación | Solución |
Sustituimos un valor aleatorio para comprobar que cualquier valor satisface en este caso probaremos con 5. | 4(5)+6(5)=10(5) |
Realizamos las operaciones correspondientes en ambos miembros de la ecuación. | 20+30=50 |
Resultado Tenemos que el valor propuesto previamente mantiene la igualdad | 50=50 |
Comprobación 2: Para verificar que cualquier valor satisface la ecuación hay que comprobarlo, sustituyendo por un valor aleatorio probaremos con 9.
Explicación | Solución |
Sustituimos un valor aleatorio para comprobar que cualquier valor satisface en este caso probaremos con 9. | 4(9)+6(9)=10(9) |
Realizamos las operaciones correspondientes en ambos miembros de la ecuación. | 36+54=90 |
Resultado Tenemos que el valor propuesto previamente mantiene la igualdad | 90=90 |
Comprobación 3: Para verificar que cualquier valor satisface la ecuación hay que comprobarlo, sustituyendo por un valor aleatorio probaremos con -3.
Explicación | Solución |
Sustituimos un valor aleatorio para comprobar que cualquier valor satisface en este caso probaremos con -3. | 4(-3)+6(-3)=10(-3) |
Realizamos las operaciones correspondientes en ambos miembros de la ecuación. | -12-18=-30 |
Resultado Tenemos que el valor propuesto previamente mantiene la igualdad | -30=-30 |