En esta lección veremos Factorización de una Diferencia de Cuadrados, como factorizar con la regla de los productos notables ” diferencia de cuadrados”, veremos un método para factorizarlos y su comprobación. Además de los casos especiales que se presentan en este tipo de factorización.
Sabemos que una diferencia de cuadrados se puede obtener a través del producto de dos binomios conjugados (revisar lección de productos notables), es decir representados por la siguiente expresion matemática:
a^2-b^2=(a+b)(a-b).
Por lo tanto factorizar una diferencia de cuadrados es, buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados. Sin embargo existen casos especiales de Factorización por Diferencia de Cuadrados los cuales se verán más adelante.
Método
Paso 1 Por inspección revisar si cumple con la forma de un binomio conjugado a^2-b^2=(a+b)(a-b) de ser así continuar con el siguiente paso.
Paso 2 Obtener la raíz principal (raíz positiva) de los términos cuadráticos .
Paso 3 Formar dos binomios utilizando la suma y resta de las raíces obtenidas.
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al cuadrado y un término numérico que se aprecia resultado de un número al cuadrado. Presumiblemente puede ser un binomio conjugado. | 9x^2-16y^2 |
Obtenemos los términos a y b de la expresión general de un binomio al cuadrado: {\color{blue}a}^2-{\color{green}b}^2=({\color{blue}a}+{\color{green}b})({\color{blue}a}-{\color{green}b}) \sqrt{{\color{blue}a}^{2}}={\color{blue}a} \sqrt{{\color{green}b}^{2}}={\color{green}b} | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}3x}+{\color{green}4y})({\color{blue}3x}-{\color{green}4y}) |
Comprobación Si multiplicamos término por término se puede observar que obtenemos el polinomio original. | (3x+4y)(3x-4y)= 3x\cdot 3x+3x\cdot -4y + 4y\cdot 3x+4y\cdot -4y= 9x^2+\cancel{12xy}\cancel{-12xy} -16y^2= 9x^2-16y^2 |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (3x+4y)(3x-4y) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al cuadrado y un término numérico que se aprecia resultado de un número al cuadrado. Presumiblemente puede ser un binomio conjugado. | x^2-y^2 |
Obtenemos los términos a y b de la expresión general de un binomio al cuadrado: {\color{blue}a}^2-{\color{green}b}^2=({\color{blue}a}+{\color{green}b})({\color{blue}a}-{\color{green}b}) \sqrt{{\color{blue}a}^{2}}={\color{blue}a} \sqrt{{\color{green}b}^{2}}={\color{green}b} | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}x}+{\color{green}y})({\color{blue}x}-{\color{green}y}) |
Comprobación Multiplicando término a término para obtener el polinomio original. | (x+y)(x-y)= x\cdot x+x\cdot -y + y\cdot x+y\cdot -y= x^2+\cancel{xy}\cancel{-xy} -y^2=x^2-y^2 |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (x+y)(x-y) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al cuadrado y un término numérico que se aprecia resultado de un número al cuadrado. Presumiblemente puede ser un binomio conjugado. | 16x^2-25y^2 |
Obtenemos los términos a y b de la expresión general de un binomio al cuadrado: {\color{blue}a}^2-{\color{green}b}^2=({\color{blue}a}+{\color{green}b})({\color{blue}a}-{\color{green}b}) \sqrt{{\color{blue}a}^{2}}={\color{blue}a} \sqrt{{\color{green}b}^{2}}={\color{green}b} | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}4x}+{\color{green}5y})({\color{blue}4x}-{\color{green}5y}) |
Comprobación Si multiplicamos término por término se puede observar que obtenemos el polinomio original. | (4x+5y)(4x-5y)= 4x\cdot 4x+4x\cdot -5y + 5y\cdot 4x+5y\cdot -5y= 16x^2\cancel{-20xy}\cancel{+20xy} -25y^2=16x^2-25y^2 |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (4x+5y)(4x-5y) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al cuadrado y un término numérico que se aprecia resultado de un número al cuadrado. Presumiblemente puede ser un binomio conjugado. | 16-x^4 |
Obtenemos los términos a y b de la expresión general de un binomio al cuadrado: {\color{blue}a}^2-{\color{green}b}^2=({\color{blue}a}+{\color{green}b})({\color{blue}a}-{\color{green}b}) \sqrt{{\color{blue}a}^{2}}={\color{blue}a} \sqrt{{\color{green}b}^{2}}={\color{green}b} | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}4}+{\color{green}x^2})({\color{blue}4}-{\color{green}x^2}) |
Comprobación Multiplicando término a término para obtener el polinomio original. | (4+x^2)(4-x^2)= 4\cdot 4+4\cdot -x^2 + x^2\cdot 4+x^2\cdot -x^2= 16\cancel{-4x^2}\cancel{+4x^2} -x^4=16-4x^4 |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (4+x^2)(4-x^2) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al cuadrado y un término numérico que se aprecia resultado de un número al cuadrado. Presumiblemente puede ser un binomio conjugado. | 1-x^4 |
Obtenemos los términos a y b de la expresión general de un binomio al cuadrado: {\color{blue}a}^2-{\color{green}b}^2=({\color{blue}a}+{\color{green}b})({\color{blue}a}-{\color{green}b}) \sqrt{{\color{blue}a}^{2}}={\color{blue}a} \sqrt{{\color{green}b}^{2}}={\color{green}b} | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}1}+{\color{green}x^2})({\color{blue}1}-{\color{green}x^2}) |
Comprobación Si multiplicamos término por término se puede observar que obtenemos el polinomio original. | (1+x^2)(1-x^2)= 1\cdot 1+1\cdot -x^2 + x^2\cdot 1+x^2\cdot -x^2= 1\cancel{-4x^2}\cancel{+4x^2} -x^4=1-x^4 |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (1+x^2)(1-x^2) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al cuadrado y un término numérico que se aprecia resultado de un número al cuadrado. Presumiblemente puede ser un binomio conjugado. | x^8-y^8 |
Obtenemos los términos a y b de la expresión general de un binomio al cuadrado: {\color{blue}a}^2-{\color{green}b}^2=({\color{blue}a}+{\color{green}b})({\color{blue}a}-{\color{green}b}) \sqrt{{\color{blue}a}^{2}}={\color{blue}a} \sqrt{{\color{green}b}^{2}}={\color{green}b} | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}x^4}+{\color{green}y^4})({\color{blue}x^4}-{\color{green}y^4}) |
Al observar tenemos como resultado dos binomios a la cuarta así que podemos factorizar uno de ellos así que repetimos los pasos anteriores con el binomio ({\color{blue}x^4}-{\color{green}y^4}) | |
Formamos el Binomio conjugado con los resultados obtenidos. | ({\color{blue}x^2}+{\color{green}y^2})({\color{blue}x^2}-{\color{green}y^2}) |
Al observar tenemos como resultado dos binomios a la cuarta así que podemos factorizar uno de ellos así que repetimos los pasos anteriores con el binomio ({\color{blue}x^2}-{\color{green}y^2}) | |
Al observar tenemos como resultado dos binomios a la cuarta así que podemos factorizar uno de ellos así que repetimos los pasos anteriores con el binomio ({\color{blue}x^2}-{\color{green}y^2}) | ({\color{blue}x}+{\color{green}y})({\color{blue}x}-{\color{green}y}) |
Finalmente escribimos todos los resultados de las factorizaciones | (x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y) |
Comprobación Utilizando la regla de los productos notables de la diferencia de cuandrados regresamos al polinomio original. | (x^4+y^4)(x^2+y^2)[(x+y)(x-y)] (x^4+y^4)[(x^2+y^2)(x^2-y^2)] (x^4+y^4)(x^4-y^4) (x^8-y^8) |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al la cuarta y un binomio elevado al cuadrado, características de este caso especial | a^4-(b-c)^2. |
Para iniciar consideramos el binomio como si fuera un monomio lo renombramos como x^2 es decir será: x^2=(b-c)^2. | a^4-x^2. |
Factorizamos como si se tratara de una diferencia de cuadrados común sacamos la raíz: \sqrt{a^4}=a^2 \sqrt{x^2}=x | (a^2+x)(a^2-x) |
Ahora factorizamos el binomio: (b-c)^2=(b-c)(b-c) y sustituimos en cada x por: (b-c) | (a^2+[b-c])(a^2-[b-c])) |
Para eliminar los corchetes, realizamos la multiplicación de los signos. | (a^2+b-c)(a^2-b+c) |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (a^2+b-c)(a^2-b+c) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que tiene una literal elevada al la cuarta y un binomio elevado al cuadrado, características de este caso especial | x^4-(m-n)^2. |
Para iniciar consideramos el binomio como si fuera un monomio lo renombramos como y^2 es decir será: y^2=(m-n)^2. | x^4-y^2. |
Factorizamos como si se tratara de una diferencia de cuadrados común sacamos la raíz: \sqrt{x^4}=a^2 \sqrt{y^2}=x | (x^2+y)(x^2-y) |
Ahora factorizamos el binomio: (m-n)^2=(m-n)(m-n) y sustituimos en cada y por: (m-n) | (x^2+[m-n])(x^2-[m-n])) |
Para eliminar los corchetes, realizamos la multiplicación de los signos. | (x^2+m-n)(x^2-m+n) |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (x^2+m-n)(x^2-m+n) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que hay un trinomio cuadrado perfecto y un término cuadrado, así que transformamos la expresión para que sea una diferencia de cuadrados | x^2+2xy+y^2-25z^2 |
Convertimos el trinomio cuadrado perfecto en un binomio al cuadrado. Recordando expresión matemática general del trinomio cuadrado perfecto: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 x^2+2xy+y^2={\color{red}(x+y)^2}. | {\color{red}(x+y)^2}-25z^2 |
Ahora tenemos una expresión como en el Caso 2, Asi que ahora consideremos el binomio como si fuera monomio, lo renombramos como w^2 es decir: {\color{red}w^2}=(x+y)^2 | {\color{red}w^2}-25z^2 |
Factorizamos como si se tratara de una diferencia de cuadrados común sacamos la raíz: \sqrt{25z^2}=5z \sqrt{w^2}={\color{red}w} | ({\color{red}w}+5z)({\color{red}w}-5z) |
Ahora factorizamos el binomio: (x+y)^2=(x+y)(x+y) y sustituimos en cada {\color{red}w} por: (x+y) | ([x+y]+5z)([x+y]-5z) |
En este caso para quitar los corchetes no es necesario hacer operaciones. | (x+y+5z)(x+y-5z) |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (x+y+5z)(x+y-5z) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos que hay un trinomio cuadrado perfecto y un término cuadrado, así que transformamos la expresión para que sea una diferencia de cuadrados | 4x^2+y^2-4xy-25. |
Ordenamos el trinomio | 4x^2-4xy+y^2-25. |
Convertimos el trinomio cuadrado perfecto en un binomio al cuadrado. Recordando expresión matemática general del trinomio cuadrado perfecto: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 4x^2-4xy+y^2={\color{red}(2x-y)^2}. | {\color{red}(2x-y)^2}-25 |
Ahora tenemos una expresión como en el Caso 2, Asi que ahora consideremos el binomio como si fuera monomio, lo renombramos como w^2 es decir: {\color{red}w^2}=(2x-y)^2 | {\color{red}w^2}-25 |
Factorizamos como si se tratara de una diferencia de cuadrados común sacamos la raíz: \sqrt{25}=5 \sqrt{w^2}={\color{red}w} | ({\color{red}w}+5)({\color{red}w}-5) |
Ahora factorizamos el binomio: (2x-y)^2=(2x-y)(2x-y) y sustituimos en cada {\color{red}w} por: (2x-y) | ([2x-y]+5)([2x-y]-5) |
En este caso para quitar los corchetes no es necesario hacer operaciones. | (2x-y+5)(2x-y-5) |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (2x-y+5)(2x-y-5) |