En esta lección veremos Factorización por Agrupación, cuando existe un término común ya sea en todos o solo en algunos de los términos dentro de un polinomio, como identificarlos y un Método para su factorización.
La factorización por agrupación se da cuando, se tiene un polinomio en el cual algunos términos existe un factor común pero NO en todos los términos del polinomio.
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos quea es común para los primeros términos y b es común en el segundo par de términos. | ac+ad+bc+bd |
Descomponemos en factores los términos del polinomio. | a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d |
Factorizamos a de los primeros términos multiplicando a estos, y Factorizamos b multiplicando al segundo par. | a(c+d)+b(c+d) |
Comprobación podemos multiplicar de nuevo los términos factorizado por cada término involucrado y regresar al polinomio original. | a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d=ac+ad+bc+bd |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | a(c+d)+b(c+d) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos quem es común para los primeros términos y n es común en el segundo par de términos. | 3mx+4my+3nx+4ny |
Descomponemos en factores los términos del polinomio. | m\cdot 3x+m\cdot 4y+n\cdot 3x+n\cdot 4y |
Factorizamos m de los primeros términos multiplicando a estos, y Factorizamos n multiplicando al segundo par. | m( 3x+ 4y)+n( 3x+4y) |
Comprobación podemos multiplicar de nuevo los términos factorizado por cada término involucrado y regresar al polinomio original. | m\cdot 3x+m\cdot 4y+n\cdot 3x+n\cdot 4y=3mx+4my+3nx+4ny |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | m( 3x+ 4y)+n( 3x+4y) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos quem es común para los primeros términos y n es común en el segundo par de términos. | 18x^{3}+12x^{2}-15x-10 |
Descomponemos en factores los términos del polinomio. | 6x^{2}\cdot 3x+6x^{2}\cdot 2-5\cdot 3x+5\cdot 2 |
Factorizamos m de los primeros términos multiplicando a estos, y Factorizamos n multiplicando al segundo par. | 6x^{2}\left( 3x+2\right) -5\left( 3x+2\right) |
Comprobación podemos multiplicar de nuevo los términos factorizado por cada término involucrado y regresar al polinomio original. | 6x^{2}\cdot 3x+6x^{2}\cdot 2-5\cdot 3x+5\cdot 2=18x^{3}+12x^{2}-15x-10 |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | 6x^{2}\left( 3x+2\right) -5\left( 3x+2\right) |
Procedimiento | Desarrollo |
Por inspección observamos quex es común para los primeros términos y el segundo par de términos no tiene nada en común. | m^{2}x+n^{2}x+m^{2}+n^{2} |
Descomponemos en factores los términos del polinomio. | x\cdot m^{2}+x\cdot n^{2}+m^{2}+n^{2} |
Factorizamos x de los primeros términos multiplicando a estos. | x(m^{2}+n^{2}) +m^{2}+n^{2} |
Al factorizar x se puede observar q son los mismos términos el segundo par, así que recordando los productos de binomios podemos quitar el segundo par de términos y agregar un 1 en la x factorizada. | x(m^{2}+n^{2}) +(m^{2}+n^{2})
(x+1)(m^{2}+n^{2}) |
Comprobación podemos multiplicar el binomio x+1 por el segundo binomio y nos da el mismo resultado. | (x+1)(m^{2}+n^{2})=
x\cdot m^{2}+x\cdot n^{2}+1(m^{2})+1(n^{2}) =m^{2}x+n^{2}x+m^{2}+n^{2} |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (x+1)(m^{2}+n^{2}) |
Procedimiento | Desarrollo |
En este caso observamos que hay términos con x comunes y otros tienen y común. | x^{3}+x^{2}y+x+y |
Ordenamos el polinomio agrupamos los que tiene x común y agrupamos los que tienen y | x^{3}+x+x^{2}y+y |
Separamos en factores. | x\cdot x^{2}+x\cdot 1+x^{2}\cdot y+y\cdot 1 |
Agrupamos las x de los primeros términos y y del segundo par. | x\left( x^{2}+1\right) +y\left( x^{2}+1\right) |
Al factorizar x,ynotamos que hay dos binomios repetidos, así que agrupamos los términos factorizados en un solo binomio y omitimos el término \left( x^{2}+1\right) repetido. | (x+y)\left( x^{2}+1\right) |
Comprobación podemos multiplicar el binomio x+1 por el segundo binomio y nos da el polinomio original. | (x+y)\left( x^{2}+1\right)=
=x\cdot x^{2}+x\cdot 1+y\cdot x^{2}+y\cdot 1 =x^{3}+x^{2}y+x+y |
Resultado ( Polinomio Factorizado) | (x+y)\left( x^{2}+1\right) |