En esta lección revisaremos la división de polinomios, para esta lección es necesario tener los conocimientos de división de números racionales y las Leyes de los exponentes. Se revisarán 2 casos División de un polinomio por un monomio y División de un polinomio por polinomio.
Para dividir un un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio, aplicando la regla de los signos de la división de números racionales y las leyes de los exponentes. En todos los casos se considerará que la expresión que parece como divisor representa un número racional distinto de cero.
Ejemplo1 Dividir el siguiente Polinomio entre el Monomio:Polinomio – > {x}^4+2{x}^2
Monomio – > {x}^2
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificar el dividendo y divisor. | \frac{{x}^4+2{x}^2 } {{x}^2}= |
Paso 2 Dividir cada termino del polinomio entre el monomio. Respetando los signos del polinomio | \frac{{x}^4} {{x}^2}+\frac{{2x}^2} {{x}^2} |
Paso 3 Según las leyes de los exponentes relacionada con la división el denominador sube como negativo, y se resuelve por leyes de los exponentes sumando los exponentes. | {x}^4\cdot {x}^{-2}+2{x}^2\cdot {x}^{-2} |
Resultado | {x}^2+2 |
Polinomio – > {x}^4-{x}^3+{x}^2
Monomio – > {-x}
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificar el dividendo y divisor. | \frac{{x}^4-{x}^3+{x}^2 } {-x} |
Paso 2 Dividir cada termino del polinomio entre el monomio. Respetando los signos del polinomio | \frac{{x}^4} {-x}- \frac{{x}^3} {-x}+\frac{{x}^2} {-x} |
Paso 3 Según las leyes de los exponentes relacionada con la división el denominador sube como negativo, y se resuelve por leyes de los exponentes sumando los exponentes. | ({x}^4\cdot {-x}^{-1})-({x}^3\cdot {-x}^{-1})+ ({x}^2 \cdot {-x}^{-1}) |
Resultado | -{x}^3+{x}^2-x |
Polinomio – > {2a}^2+{4a}^3-{6a}^5
Monomio – > {2a}^2
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificar el dividendo y divisor. | \frac{{2a}^2+{4a}^3-{6a}^5 } {{2a}^2 } |
Paso 2 Dividir cada termino del polinomio entre el monomio respetando los signos del polinomio, en este caso se dividieron los coeficientes. | \frac{{2a}^2} {{2a}^2}+\frac{{4a}^3} {{2a}^2}-\frac{{6a}^5} {{2a}^2} \frac{{a}^2} {{a}^2}+\frac{{2a}^3} {{a}^2}-\frac{{3a}^5} {{a}^2} |
Paso 3 Según las leyes de los exponentes relacionada con la división el denominador sube como negativo, y se resuelve por leyes de los exponentes sumando los exponentes. | ({a}^2\cdot {a}^{-2})+({2a}^3\cdot {a}^{-2})- ({3a}^5 \cdot {-a}^{-2}) |
Resultado | -{3a}^3 + 2a +1 |
Paso 1 El dividendo y el divisor se ordenan en forma decreciente respecto a las potencias de una misma literal.
Paso 2 El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor y así se obtiene el primer término del cociente.
Paso 3 El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor, y el producto se resta del dividendo. El resultado de dicha resta es el primer dividendo parcial que se complementa bajando uno o más términos del dividendo según se necesite
Paso 4 Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor para obtener el segundo término del cociente.
Paso 5 Se multiplica el segundo término del cociente por todo el divisor y el producto se resta del primer dividendo parcial. El resultado de la resta es el segundo dividendo parcial que se complementa bajando uno o más términos del dividendo según se necesite.
Paso 6 Se continúa el procedimiento en la misma forma, hasta obtener un residuo igual a cero (división exacta ) o un dividendo parcial cuyo grado sea menor al del divisor (división inexacta)
Ejemplo 1 Dividir el siguiente Polinomio entre Polinomio: Dividendo> {x}^2+x-20 Divisor – > x+5Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificar el dividendo y divisor. | x+5\mid\overline{{x}^2+x-20} |
Paso 2 Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. |
\frac{{x}^{\cancel{2}} } {\cancel{x}}=x |
Paso 3 Se coloca el resultado anterior en la parte superior de la división(verde). Se multiplica X por cada término del divisor y se coloca abajo invirtiendo los signos (color verde). x \cdot x+5 \cdot x={x}^2+5 invirtiendo signos: \color{LimeGreen}{{-x}^2-5x} |
|
Paso 4 Se realizan las operaciones con los nuevos términos (verdes) y el dividendo. Se coloca el nuevo resultado debajo, y se baja el siguiente término. |
\color{LimeGreen} {+x} +x+5\mid\overline{\cancel{{x}^2}+x-20} \cancel{{\color{LimeGreen} {-x}^2}}{\color{LimeGreen}-5x} \overline{ -4x -20} |
Paso 5 Se repite el paso 2 para obtener el siguiente cociente, Se divide el primer término del nuevo resultado entre el primer término del divisor. | \frac{-4\cancel{x}}{\cancel{+x}}=-4 |
Paso 6 Similar al paso 3 Se coloca el resultado anterior en la parte superior (azul) y se procede a repetir el paso 4. Se multiplica, el nuevo cociente por cada término del divisor invirtiendo su signo y se coloca en la parte inferior (azul). -4 \cdot x -4 \cdot 5 =-4x-20 invirtiendo signos: \color{Blue}{+4x+20} |
\color{LimeGreen} {+x} \color{Blue} {-4} +x+5\mid\overline{\cancel{{x}^2}+x-20} \cancel{{\color{LimeGreen} {-x}^2}}{\color{LimeGreen}-5x} \overline{ -4x -20 } {\color{Blue}{+4x+20}} |
Paso 7 De nuevo se hacen las operaciones de suma y resta. Se repite este procedimiento hasta tener residuo cero o hasta ya no tener términos que bajar. |
\color{LimeGreen} {+x} \color{Blue} {-4} +x+5\mid\overline{\cancel{{x}^2}+x-20} \cancel{{\color{LimeGreen} {-x}^2}}{\color{LimeGreen}-5x} \overline{\cancel{-4x}\cancel{-20} } {\color{Blue}\cancel{+4x}\cancel{+20}} \overline{{\color{Blue}{ 0 0 }}} |
Resultado (cociente) | {\color{LimeGreen}x} {\color{Blue}-4} |
Dividendo> {6x}^2-5x-6
Divisor – > 3x+2
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificar que se va a dividir entre que. | 3x+2\mid\overline{{6x}^2-5x-6} |
Paso 2 Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. |
\frac{{6x}^{\cancel{2}} } {3\cancel{x}}=+2x |
Paso 3 Se coloca el resultado anterior en la parte superior de la división(verde). Se multiplica X por cada término del divisor y se coloca abajo invirtiendo los signos (color verde). 2x \cdot 3x +2x \cdot 2={6x}^2+4 invirtiendo signos: \color{LimeGreen}{{-6x}^2-4x} |
\color{LimeGreen} {+2x} 3x+2 \mid \overline{\cancel{{6x}^2}-5x-6} {\color{LimeGreen}\cancel{-6{x}^2}-4x} |
Paso 4 Se realizan las operaciones con los nuevos términos (verdes) y el dividendo. Se coloca el nuevo resultado debajo. |
\color{LimeGreen} {+2x} 3x+2 \mid \overline{\cancel{{6x}^2}-5x-6} {\color{LimeGreen}\cancel{-6{x}^2}-4x} \overline{ 0 -9x } |
Paso 5 Se repite el paso 2 para obtener el siguiente cociente, Se divide residuo del nuevo resultado, entre el primer término del divisor. | \frac{-9\cancel{x}}{+3\cancel{x}}=-3 |
Paso 6 Similar al paso 3 Se coloca el resultado anterior en la parte superior (cociente azul) y se baja el siguiente término. |
\color{LimeGreen} {+2x}\color{Blue} {-3} 3x+2 \mid \overline{\cancel{{6x}^2}-5x-6} {\color{LimeGreen}\cancel{-6{x}^2}-4x} \overline{ 0 -9x -6 } |
Paso 7 Se multiplica, el nuevo cociente por cada término del divisor invirtiendo su signo y se coloca en la parte inferior (azul). -3 \cdot 3x -3 \cdot 2 =-9x-6 invirtiendo signos: \color{Blue}{+9x+6} |
\color{LimeGreen} {+2x}\color{Blue} {-3} 3x+2 \mid \overline{\cancel{{6x}^2}-5x-6} {\color{LimeGreen}\cancel{-6{x}^2}-4x} \overline{ -9x -6 } {\color{Blue} +9x +6 } |
Paso 8 Se realizan las operaciones con los nuevos términos (azules) y el dividendo. Se coloca el nuevo resultado debajo, y se baja el siguiente término si hubiera. |
\color{LimeGreen} {+2x}\color{Blue} {-3} 3x+2 \mid \overline{\cancel{{6x}^2}-5x-6} {\color{LimeGreen}\cancel{-6{x}^2}-4x} \overline{ \cancel{-9x -6 }} {\color{Blue} \cancel{+9x +6} } \overline{ 0 0 } |
Resultado (cociente) | {\color{LimeGreen}2x} {\color{Blue}-3} |