En esta lección veremos cómo se resuelven ecuaciones de primer grado lineales con divisiones (cocientes) es necesario saber Mínimo Común Múltiplo y Fracciones visto en el Módulo 1 conforme vaya subiendo de nivel, incorporaremos más diversidad de operaciones lo que incrementará su dificultad.
Para resolver ecuaciones con divisiones hay que tomar en cuenta 2 casos, cuando tiene denominador común y cuando tiene denominador distinto. De manera general las ecuaciones con divisiones obedecen a las mismas reglas que las fracciones comunes, es decir para poder sumar, restar, multiplicar o dividir se deben seguir las mismas reglas aunque en el numerador o en el denominador estén involucradas incógnitas o conjuntos de operaciones.
\cfrac{3x}{4}=15
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificamos la incógnita en este caso “y” | \frac{3y}{4}=15 |
Paso 2 Pasamos el denominador de por la regla de la división (pasa multiplicando). | 3y=4(15) |
Paso 3 Realizamos la multiplicación. | 3y=60 |
Paso 4 Despejamos el coeficiente que acompaña a la incógnita por la regla de la multiplicación(pasa dividiendo) y hacemos la división | y=\frac{60}{3} |
Solución | y=20 |
\cfrac{7y}{2}-3=11
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificamos la incógnita en este caso “y” | \frac{7y}{2}-3=11 |
Paso 2 Pasamos el término 11 al segundo miembro de la ecuación (pasa sumando) |
\frac{7y}{2}=11+3 |
Paso 3 Realizamos la suma. | \frac{7y}{2}=14 |
Paso 4 Despejamos el denominador por la regla de la división (pasa multiplicando ). | 7y=2(14) |
Paso 5 Realizamos la multiplicación. | 7y=28 |
Paso 6 Despejamos el coeficiente que acompaña a la incógnita por la regla de la multiplicación(pasa dividiendo) y hacemos la división | y=\frac{28}{7} |
Solución | y=4 |
\cfrac{d+8}{d-2}=\cfrac{9}{4}
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificamos la incógnita en este caso “d” | \frac{d+8}{d-2}=\frac{9}{4} |
Paso 2 Pasamos el divisor como término completo al segundo miembro de la ecuación por la regla de la división (pasa multiplicando) |
(d+8)=(d-2)(\frac{9}{4}) |
Paso 3 Realizamos la multiplicación (recordando la regla de la multiplicación de una fracción ) | (d+8)=\frac{9d-18}{4} |
Paso 4 Despejamos el denominador 4 por la regla de la división (pasa multiplicando ). | 4(d+8)=9d-18 |
Paso 5 Realizamos la multiplicación. | 4d+32=9d-18 |
Paso 6 Pasamos las incógnitas al primer miembro de la ecuación y los términos numéricos al segundo miembro de la ecuación | 4d-9d=-18-32 |
Paso 7 Agrupamos términos y realizamos las operaciones correspondientes. Y hacemos la división. | d=\frac{-50}{-5} |
Solución | d=10 |
\cfrac{3x-1}{7}=2x+3
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificamos la incógnita en este caso “x” | \frac{3x-1}{7}=2x+3 |
Paso 2 Pasamos el divisor al segundo miembro de la ecuación por la regla de la división (pasa multiplicando) |
3x-1=7(2x+3) |
Paso 3 Realizamos la multiplicación del segundo miembro de la ecuación. | 3x-1=14x+21 |
Paso 4 Agrupamos las incógnitas y los términos numéricos | 3x-14x=21+1 |
Paso 5 Realizamos las operaciones correspondientes. | -11x=22 |
Paso 6 Despejamos el coeficiente que acompaña a la x, por la regla de la multiplicación (pasa dividiendo). Realizamos la división | x=\frac{22}{-11} |
Solución | x=-2 |
30=25-\cfrac{y}{3}
Procedimiento | Operaciones |
Paso 1 Identificamos la incógnita en este caso “y” | 30=25-\frac{y}{3} |
Paso 2 Pasamos el 25 al primer miembro de la ecuación. |
30-25=-\frac{y}{3} |
Paso 3 Realizamos la resta. | 5=-\frac{y}{3} |
Paso 4 Despejamos el denominador por la regla de la divición (pasa multiplicando) | -3(5)=y |
Paso 5 Realizamos la multiplicación. | -15=y |
Solución |
En estas ecuaciones se puede observar que se tiene el mismo denominador, hay que considerar la regla de despeje de la división.
\cfrac{2x}{5}-\cfrac{x}{5}=-6
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{2x}{5}-\frac{x}{5}=-6 |
Paso 2 Hacemos la resta de fracciones con denominador común. |
\frac{2x-x}{5}=-6 |
Paso 3 Despejamos el denominador de la fracción por la regla de la división (pasa multiplicando). |
2x-x=5(-6) |
Paso 4 Realizamos la multiplicación |
2x-x=-30 |
Paso 5 Agrupamos términos semejantes en el primer miembro de la ecuación. |
x=-30 |
Solución |
x=-30 |
10-\cfrac{x}{7}=\cfrac{4x}{7}
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
10-\frac{x}{7}=\frac{4x}{7} |
Paso 2 Pasamos la fracción que tiene la incógnita al segundo miembro de la ecuación. |
10=\frac{4x}{7}+\frac{x}{7} |
Paso 3 Agrupamos las fracciones con denominador común. |
10=\frac{4x+x}{7} |
Paso 4 Realizamos la suma de numeradores. |
10=\frac{5x}{7} |
Paso 5 Pasamos el denominador multiplicando al otro lado de la ecuación |
7(10)=5x |
Paso 6 Realizamos la multiplicación |
70=5x |
Paso 7 Despejamos el término que acompaña a la incógnita por la regla de la multiplicación (pasa dividiendo) y realizamos la división. |
\cfrac{70}{5}=x |
Solución |
14=x |
\cfrac{4x}{3}-\cfrac{5x}{3}=-2
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{4x}{3}-\frac{5x}{3}=-2 |
Paso 2 Hacemos la resta de fracciones agrupando con denominador común. |
\frac{4x-5x}{3}=-2 |
Paso 3 Realizamos la resta en el numerador. |
\frac{-x}{3}=-2 |
Paso 4 Despejamos el denominador pasándolo al otro lado de la ecuación por la regla de la división (pasa multiplicando) |
-x=3(-2) |
Paso 5 Hacemos la multiplicación. |
-x=-6 |
Paso 6 Multiplicamos por menos uno ambos lados de la ecuación para dejar positiva la incógnita. |
-1(-x)=-1(-6) |
Solución |
x=6 |
\cfrac{z-6}{5}+z=\cfrac{4z+16}{5}
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
z=\frac{4z+16}{5}-\frac{z-6}{5} |
Paso 2 Pasamos el término izquierdo con la incógnita al segundo miembro de la ecuación. |
z=\frac{4z+16}{5}-\frac{z-6}{5} |
Paso 3 Agrupamos las fracciones con denominador común. |
z=\frac{4z+16-(z-6)}{5} |
Paso 4 Quitamos el paréntesis multiplicando el signo menos. |
z=\frac{4z+16-z+6}{5} |
Paso 5 Agrupamos las incógnitas y los términos numéricos en el denominador. |
z=\frac{3z+22}{5} |
Paso 6 Pasamos el denominador al primer miembro de la ecuación por la regla de la división (pasa multiplicando). |
5(z)=3z+22 |
Paso 7 Quitamos el paréntesis multiplicando a la incóginta. |
5z=3z+22 |
Paso 8 Pasamos las incógnitas al lado derecho de la ecuación y el término numérico al lado izquierdo. |
-22=3z-5z |
Paso 9 Agrupamos los términos semejantes. |
-22=-2z |
Paso 10 Despejamos el coeficiente que acompaña a la incógnita por la regla de la multiplicación (pasa dividiendo) y realizamos la división. |
\frac{-22}{-1}=z |
Solución |
11=z |
\cfrac{7}{a}=2+\crac{1}{a}
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{7}{a}=2+\frac{1}{a} |
Paso 2 Pasamos el término \frac{1}{a} al primer miembro de la ecuación. |
\frac{7}{a}-\frac{1}{a}=2 |
Paso 3 Hacemos la resta de fracciones agrupandolas con el denominador común. |
\frac{7-1}{a}=2 |
Paso 4 Despejamos el denominador pasándolo al otro lado de la ecuación por la regla de la división (pasa multiplicando) |
7-1=a(2) |
Paso 5 Hacemos la resta. |
6=2a |
Paso 6 Despejamos el término que acompaña a la incógnita por la regla de la multiplicación (pasa dividiendo) y realizamos la división. |
\frac{6}{2}=a |
Solución |
3=a |
Ejemplo 1 Se tiene la siguiente ecuación:
\cfrac{x-2}{3}-\cfrac{x+1}{4}=4
Hallar la solución de la ecuación
Procedimiento
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{x-2}{3}-\frac{x+1}{4}=4 |
Paso 2 Calculamos el común denominador de las fracciones: \frac{x-2}{3}-\frac{x+1}{4}=\frac{4(x-2)-3(x+1)}{12} |
\frac{4(x-2)-3(x+1)}{12}=4 |
Paso 3 Quitamos los paréntesis realizando las multiplicaciones correspondientes en el numerador. |
\frac{4x-8-3x-3}{12}=4 |
Paso 4 Pasamos el denominador 12 del otro lado de la igualdad con la regla de la división (pasa multiplicando ) |
4x-8-3x-3=(12)4 |
Paso 5 Agrupamos las incógnitas del lado izquierdo de la igualdad y pasamos los términos numéricos del lado derecho de la igualdad. |
4x-3x=48+8+3 |
Paso 6 Realizamos las operaciones correspondientes y agrupamos los términos semejantes. |
x=59 |
Solución |
x=59 |
Ejemplo 2 Se tiene la siguiente ecuación:
\cfrac{x}{2}-\cfrac{x}{3}=7
Hallar la solución de la ecuación
Procedimiento
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=7 |
Paso 2 Calculamos el común denominador de las fracciones: \frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{3(x)-2(x)}{6} |
\frac{3x-2x}{6}=7 |
Paso 3 Agrupamos los términos semejantes del numerador. |
\frac{x}{6}=7 |
Paso 4 Despejamos x pasando el denominador al segundo término de la ecuación por la regla de la división (pasa multiplicando) |
x=(6)(7) |
Paso 5 Finalmente realizamos la multiplicación. |
x=42 |
Solución |
x=42 |
Ejemplo 3 Se tiene la siguiente ecuación:
\cfrac{x-2}{4}-\cfrac{x+4}{3}=5
Hallar la solución de la ecuación
Procedimiento
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{x-2}{4}-\frac{x+4}{3}=5 |
Paso 2 Calculamos el común denominador de las fracciones: \frac{x-2}{4}-\frac{x+4}{3}=\frac{3(x+2)-4(x+4)}{12} |
\frac{3(x+2)-4(x+4)}{12}=5 |
Paso 3 Eliminamos los paréntesis haciendo las multiplicaciones en el numerador |
\frac{3x-6-4x-16}{12}=5 |
Paso 4 Agrupamos los términos semejantes del numerador. |
\frac{-x-22}{12}=5 |
Paso 5 Despejamos el denominador por la regla de la división (pasa multiplicando) |
-x-22=(12)5 |
Paso 6 Realizamos la multiplicación. |
-x-22=60 |
Paso 7 Despejamos el término numérico pasándolo al segundo miembro de la ecuación |
-x=60+22 |
Paso 8 Hacemos la suma. |
-x=82 |
Paso 8 Multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1 para dejar la incógnita con signo positivo. |
-1(-x)=-1(82) |
Solución |
x=-82 |
Ejemplo 4 Se tiene la siguiente ecuación:
x+\cfrac{3x+2}{2}=\cfrac{1+x}{4}
Hallar la solución de la ecuación
Procedimiento
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
x+\frac{3x+2}{2}=\frac{1+x}{4} |
Paso 2 Pasamos la fracción del primer miembro al segundo miembro de la ecuacion para poder reducirla. |
x=\frac{1+x}{4}-\frac{3x+2}{2} |
Paso 3 Calculamos el común denominador de la fracción para poder reducirla: \frac{1+x}{4}-\frac{3x+2}{2}=\frac{1+x-2(3x+2)}{4} |
x=\frac{1+x-2(3x+2)}{4} |
Paso 4 Quitamos los paréntesis haciendo la multiplicación. |
x=\frac{1+x-6x-4}{4} |
Paso 5 Reducimos los términos semejantes. |
x=\frac{-3-5x}{4} |
Paso 6 Despejamos el denominador del segundo miembro por la regla de la división (pasa multiplicando ) a la incógnita. |
4(x)=-3-5x |
Paso 7 Agrupamos las incógnitas en el primer miembro de la ecuación. |
4x+5x=-3 |
Paso 8 Reducimos los términos semejantes. |
9x=-3 |
Paso 8 Despejamos el término que acompaña a la incógnita, por la regla de la multiplicación (pasa dividiendo) y simplificamos la fracción resultante |
x=-\frac{3}{9} |
Solución |
x=-\frac{1}{3} |
Ejemplo 5 Se tiene la siguiente ecuación:
\cfrac{x-3}{2}-\cfrac{3x-2}{5}=\cfrac{1-5x}{4}
Hallar la solución de la ecuación
Procedimiento
Paso 1 Ubicamos las incógnitas despejar “x” |
\frac{x-3}{2}-\frac{3x-2}{5}=\frac{1-5x}{4} |
Paso 2 Calculamos el común denominador de las fracciones: \frac{x-3}{2}-\frac{3x+2}{5}=\frac{5(x-3)-2(3x-2)}{10} |
\frac{5(x-3)-2(3x-2)}{10}=\frac{1-5x}{4} |
Paso 3 Eliminamos los paréntesis haciendo las multiplicaciones en el numerador |
\frac{(5x-15)-6x-4)}{10}=\frac{1-5x}{4} |
Paso 4 Despejamos ambos denominadores de la ecuación por la regla de la division (pasan multiplicando) |
4(5x-15-6x+4)=10(1-5x) |
Paso 5 Quitamos los paréntesis multiplicando. |
20x-60-24x+16=10-50x |
Paso 6 Agrupamos las incógnitas en el primer miembro y los términos numéricos en el segundo. |
20x-24x+50x=10+60-16 |
Paso 7 Reducimos términos semejantes. |
46x=54 |
Paso 8 Despejamos el coeficiente que acompaña a la incógnita por la regla de la multiplicación (pasa dividiendo). |
x=\frac{54}{46} |
Paso 8 Finalmente simplificamos la fracción resultante. |
x=\frac{27}{23} |
Solución |
x=\frac{27}{23} |